مدل سازی

مقدمه ای بر مدل سازی

خلاصه ای از واقعیت را مدل گویند. به بیان دیگر، نمایش مجرّد یا فیزیکی یک شیء، سیستم (سامانه) را (از یک نقطه نظر و نگاه خاص) مدل می نامند. مدل ها به دو نوع کیفی و کمی هستند. در واقع فرآیند ایجاد و انتخاب مدل ها را مدل سازی نامیده اند. مدل ها، انواع گوناگون داشته (مثل فیزیکی، ریاضی، عددی، نرم افزاری و ...) و کاربردهای متنوّع و فراوانی در همه زمینه های علوم و فن آوری دارند.

تبدیل یک مفهوم آماری، به زبان ریاضی، نوعی از مدل سازی است. که هرچه مفاهیم زبان ریاضی استفاده شده در آن ساده تر باشند، مدل سازی ارزش بیشتری دارد. مدل سازی علمی به مجموعه فرآیندهای مربوط به تنظیم، برگزینی، و اعتبارسنجی مدل های مورد نیاز جهت نمایش اشیاء و پدیده ها در علوم مختلف اطلاق می شود. با آنکه به مرور روش ها، تکنیک ها و نظریه های مختلفی برای مدل سازی در انواع زمینه های تخصّصی علوم گوناگون به وجودآمده است، نظریه های کلّی تر پیرامون مدل سازی های علمی در قلمرو فلسفه علوم، نظریه سیستم ها، و نمایش دانش قرار می گیرد.

مدل سازی یکی از تکنیک های ذهنی بشر می باشد که نه تنها برای اهداف علمی، بلکه برای انجام امور روزمره بشر به دفعات مورد استفاده قرار می گیرد.

فرآیند ایجاد و انتخاب مدل ها را مدل سازی می نامند.

تعریف لغوی مدل سازی

...

مدل= نشانه های اختصاری

مدل . [ م ُ دِ ] (فرانسوی ، اِ) ۞ الگو. نمونه . (یادداشت مولف ). سرمشق . (فرهنگ فارسی معین ). || کتاب نقاشی که در مدارس دانش آموزان از روی آن طراحی و نقاشی کنند. || هر چیز و هرکس اعم از مجسمه و انسان و غیره که در برابر هنرمند قرار گیرد تا از روی آن نقاشی کند و یا مجسمه بسازد. (فرهنگ فارسی معین ).

مدل سازی ریاضی

مدل سازی چیست ؟

مدل سازی به طور کلی یعنی شبیه سازی یک محیط با اندازه های متفاوت و از محیط واقعی و احتمالاً مواد و مصالحی متمایز از جنس مواد و مصالح محیط مدل شده.

در مدل سازی ابتدا اجزای محیط واقعی انتخاب شده و متناسب با هدف مورد نظر از مدل سازی خصوصیاتی از هر یک از اجزای واقعی انتزاع می شود، یعنی به ازای هر یک از اجزای محیط واقعی یک موجودیت تجریدی ساخته می شود و با برقراری ارتباطی مشابه با ارتباط اجزای واقعی، در میان موجودیت های تجریدی، محیط واقعی مدل می شود.

فرایند تلاش در مسیر ایجاد و انتخاب معادل‌های (تقریبی) ریاضی برای پدیده‌ها را مدل‌سازی ریاضی نامیده‌اند. در مواردی که میسّر شود، مدل‌های ریاضی هم پدیده‌های طبیعی جهان در همه مقیاسها و اندازه‌ها را نمایش می‌دهند و هم ساخته‌ها و آفرینش‌های خود انسان را.

مدل‌سازی‌های ریاضی را اغلب به منظور توضیح و تبیین رفتار پدیده‌ها، پیش‌بینی، و نیز کنترل آن‌ها انجام می‌دهیم.

 امروزه، دانش‌آموزان با داده‌های بسیار زیادی توسط رسانه‌ها روبرو هستند. تا پیش ‌از این، کار با داده‌های پیچیده جهان تا این اندازه موردنیاز نبوده است. دنیا پیوسته در حال تغییر است، بنابراین، رویکرد جدیدی برای حل ‌مسائل و تصمیم‌­گیری، موردنیاز است. این رویکرد جدید، رویکرد مدل‌سازی و کاربردهاست. نیس، بلوم و گالبرایت (2007) بحث می‌کنند که توجه به تدریس کاربردهای ریاضی، همواره در طول تاریخ وجود داشته، ولی میزان تأکید بر آن، دارای نوسانات آونگی بوده است. به‌این‌ترتیب که گاهی تأکید بر کاربردهای ریاضی بیشتر و گاهی کمتر بوده است.

به‌طور مشخص، رویکرد مدل‌سازی و کاربردها در دو دهه گذشته، طرفداران زیادی در سراسر دنیا پیدا کرده است، به‌طوری‌که در برخی از کشورها ازجمله هلند، آلمان، انگلستان و استرالیا، برنامه‌های درسیِ تلفیق شده با مدل‌سازی و کاربردها توسعه داده شده‌ است. همچنین مطالعه بین‌المللی پیزا[1] میزان توانایی به‌کارگیری دانش ریاضی توسط دانش‌آموزان را در شرایط دنیای واقعی، مورد سنجش قرار می‌دهد.

لازم به ذکر است که در ابتدا، تصور می‌شد سطح ریاضیاتِ موردنیاز برای مسائل مدل‌سازی و کاربردها، بالاتر از حد دانش‌آموزان دوره ابتدایی است. درنتیجه، اکثر پژوهش­های این حوزه، مختص دوره دبیرستان و دانشگاه بود. ولی فعالیت‌های پژوهشی فرشافل (2002) و گریر، فرشافل و موخاپدیای (2007) تلاش‌های پژوهشگران حوزه آموزش ریاضی را برای معرفی مدل‌سازی و کاربردها در دوره­های ابتدایی، قوت بخشید. به‌گونه‌ای که برای نمونه در چند سال اخیر، مقالات متعددی از انگلیش (2010 الف و 2010 ب و 2012) در مورد آموزش مدل‌سازی و کاربردها در سطوح پایین‌تر دوره ابتدایی، چاپ شده است.

در ایران نیز، بیان شده که تغییرات جدید کتاب‌های درسی ریاضی در دوره متوسطه، بر اساس برنامه درسی ملی، با توجه به رویکرد مدل‌سازی و کاربرد بوده است. به‌طوری‌که در صفحه 41 از فصل چهارم از ویرایش چهارم سند برنامه درسی ملی چنین آمده است که «توانایی به‌کارگیری ریاضی در حل مسائل روزمره و انتزاعی، از اهداف اساس آموزش ریاضی است». در ادامه نیز، مدل‌سازی به‌عنوان یکی از قلمروهای حوزه آموزش ریاضی بیان شده است. هم­چنین، در مقدمه کتاب‌های تازه تألیف در دوره دبیرستان، به مدل‌سازی و کاربردها، به‌عنوان یکی از عناصر کلیدی کتاب‌های درسی ریاضی، اشاره شده است.

معرفی مدل‌سازی و کاربرد

در این بخش، با ذکر تعریفی برای مدل‌سازی، تلاش می‌شود تا معنای این اصطلاح بیشتر باز شود. درواقع، هدف این است که مشخص شود که چه فعالیت هایی مدل‌سازی محسوب می شوند و کدام ها مدل سازی به‌حساب نمی آیند تا معنا و مفهوم مدل‌سازی، روشن تر شود.

در چرخه فرآیند مدل‌سازی که ابتدا توسط فرشافل (2002) و سپس کِیزِر و شوارتز[2] (2006) معرفی شد، فرآیند مدل‌سازی، با یک مسئله در موقعیت دنیای واقعی شروع می‌شود. سپس مسئله دنیای واقعی، به یک مسئله ریاضی در دنیای ریاضی تبدیل می‌شود (صورت‌بندی). این مسئله، در دنیای ریاضی حل شده و در ادامه، جواب به دست آمده در دنیای ریاضی، به دنیای واقعی برده می شود تا با زمینۀ واقعی مسئله، متناسب گردد (تفسیر). در پایان، جواب به دست آمده با موقعیت واقعی مسئله مقابله می گردد تا در صورت لزوم، این چرخه مدل‌سازی، تکرار شود (وارسی کردن).

آمار و مدل سازی در ریاضی ابتدایی

ریاضیات یک شیوه ی تفکر است . ریاضیات ما را به داشتن راهبردی در سازماندهی و تجزیه و ترکیب داده ها آن هم نه منحصراً در محاسبات ، مجهز میکند. ریاضیات هنری است که با نظم و سازگاری درونی توصیف می شود.

ریاضیات یک ابزار است و این همان چیزی است که ریاضیدانان و حتی مردم عادی در زندگی روزمره به کار می برند . (ریاضیات درسی است برای نمایش قدرت ذهنی)

ریاضیات زبانی است که در تعریف دقیق اصطلاحات و نماد ها به کار میرود و مارا در برقراری ارتباط علمی و سایر ارتباطات در زندگی روزمره توانا می کند.

کودکان باید دریابند که چگونه یرخی از اندیشه ها تکرار می شوند و از ارتباط میان مفاهیم متفاوت ریاضیات آگاه شوند . این فکر باعث می شود که کودکان تمام دوران تحصیلات را مانند دانه های زنجیر به هم مرتبط ببینند و درک کنند که هربحث چون ریسمانی درهم تافته، به مباحث دیگری وابسته است که در یاد گیری آن مبحث خاص موثر است.

اگرچه در پژوهش‌های مختلف، از چرخه‌های کم و بیش متفاوتی استفاده می‌شود، ولی مراحل اساسی که تقریباً، در همه چرخه‌های مدل‌سازی دیده می‌شوند، یکسان هستند. معمولاً از ساده‌ترین چرخه که شامل چهار مرحله است، برای آموزش مدل‌سازی به دانش‌آموزان استفاده می‌شود و از چرخه‌های پیچیده‌تر، بیشتر برای آموزش معلمان ریاضی استفاده می‌شود

 چرخه فرآیند مدل‌سازی (فرشافل، 2002؛ کِیزِر و شوارتز،2006)

منظور از اصطلاح مدل‌سازی و کاربرد ، تکرار چرخه مدل‌سازی (شکل 1) برای حل مسائل دنیای واقعی در آموزش ریاضی مدرسه‌ای است. گاهی ممکن است اصطلاح مدل‌سازی و کاربرد در قلمرو زمانی و مکانی دیگری استفاده شود که با منظور این مقاله متفاوت است. به‌عنوان مثال، از اصطلاح مدل‌سازی در رشته ریاضی کاربردی یا در رشته‌های مختلف مهندسی استفاده می‌شود که با آنچه در این مقاله مدنظر است، متفاوت است[4].

علاوه بر این، از اصطلاح مدل‌سازی، در کتاب درسی آمار و مدل‌سازی دبیرستان نیز استفاده شده است (بخشعلی‌زاده، پاشا و رستگار، 1388). برای نمونه، در صفحه 8 این کتاب، بیان مسئله به زبان ریاضی، به‌عنوان مدل‌سازی تعریف شده است که فقط ناظر به‌صورت­بندی مسئله از دنیای واقعی به دنیای ریاضی است. درمجموع در این کتاب درسی، مثال‌هایی از مسائل دنیای واقعی دیده می‌شود، ولی مدل‌سازی به معنای چرخه مدل‌سازی، وجود ندارد.

این در حالی است که در ادبیات پژوهشی حوزه آموزش ریاضی نیز، اصطلاحاتی وجود دارند که اگرچه دارای معانی نزدیکی به مدل‌سازی هستند، ولی با آن فرق دارند. به‌عنوان مثال، اصطلاح سواد عددی که ناظر بر درک عددی و استفاده از آن است (ویلیس، 1990 و کاکرافت، 1982)، یا اصطلاح سواد فضایی که مستلزم درک جهان سه‌بعدی است که در آن زندگی می‌کنیم (دی لنگ، 2003). هم­چنین، در متون پژوهشی آمریکای شمالی، از اصطلاح سواد کمی به‌وفور استفاده می‌شود که منظور، چگونگی استفاده از کمیت‌ها، تغییر و رابطه است (استین، 2001). بااین‌وجود، هسته اصلی سواد ریاضی که در مطالعه پیزا به‌منظور سنجش توانایی دانش‌آموزان 15 ساله در استفاده از دانش ریاضی‌شان، مورد استفاده قرار گرفت، مدل‌سازی است (رفیع پور و استیسی، 2009). در مقابل مسائل مدل­سازی، منظور از کاربرد استاندارد، مسائلی هستند که در آن‌ها، دانش­آموزان می­دانند باید از چه تکنیک ریاضی استفاده نمایند (نیس، بلوم و گالبرایت، 2007). درواقع در مسائل کاربرد استاندارد، مسیر حرکت از دنیای ریاضی به سوی دنیای واقعی است، درحالی‌که در فرآیند مدل‌سازی، این جهت برعکس است.

از طرف دیگر، گالبرایت (2007)، توضیح می­دهد که گاهی استفاده از نرم­افزارهای[5] تطبیق یک منحنی تقریبی بر روی نقاط داده شده، به‌عنوان مدل‌سازی ریاضی قلمداد می­شود، درحالی‌که این نرم­افزارها، فقط ابزارهایی برای انجام مدل‌سازی هستند و نمی‌توانند به‌عنوان فعالیت مدل‌سازی، طبقه‌بندی شوند.

بالاخره، دسته دیگری از مسئله­ها که بیشترین قرابت را با مسائل مدل‌سازی دارند، مسائل کلامی هستند، چراکه هر دو دسته، در قالب کلام، ارائه می­شوند. مسائل کلامی در برنامه درسی و کتاب‌های درسی ریاضی نقش پررنگی دارند و برای معلمان ریاضی و سایر درست اندرکاران آموزش ریاضی، شناخته شده هستند. ولی بین مسائل کلامی و مسائل مدل‌سازی، تفاوت عمده‌ای وجود دارد. مسائل مدل‌سازی به‌واسطه شکل‌گیری در موقعیت‌های دنیای واقعی، در دو بُعد معناداری و هدف، از مسائل کلامی متمایز می‌شوند (گالبرایت، 2007). در مسائل مدل‌سازی، مسائل از دنیای واقعی برآمده‌اند، درنتیجه معنادارند، ولی در مسائل کلامی، الزاماً این‌گونه نیست. در مسائل مدل‌سازی، هدف مواجهه با دنیای واقعی است، درحالی‌که در مسائل کلامی، هدف، یادگیری حل این نوع مسائل و تمرین بیشتر است. برای روشن شدن این تفاوت، گالبرایت (2007، ص 80) به نقل از پولاک (1969)، مثال زیر را آورده است.

 ساندویچ فروشی، همبرگر، سوسیس و پیتزا می­فروشد. در یک روز، تعداد همبرگرهای فروخته شده، 3 برابر تعداد پیتزاها و تعداد سوسیس­های فروخته شده، 5 برابر تعداد پیتزاها بود. درمجموع، تعداد پیتزاها و همبرگرهای فروخته شده 176 عدد بود. این فروشگاه در آن روز، چه تعداد از این دو نوع غذا فروخت؟

اگرچه این مسئله در دنیای واقعی و به‌صورت کلامی بیان شده است، ولی نیازمند ورود به دنیای واقعی و مهارت­های لازم برای مواجهه در این دنیا مثلاً این‌که فروشنده چگونه در مورد معاش خود تصمیم‌گیری می‌کند، نیست و اطلاعاتی در این زمینه، ارائه نشده است. این در حالی است که مسائل کلامی در برنامه درسی اکثر کشورها، به‌طور سنتی وجود داشته و دارد و وجود چنین مسائلی در برنامه‌های درسی ریاضی مدرسه‌ای، باارزش و ضروری هستند، ولی با مسائل مدل‌سازی، فرق دارند. البته به گفته فرشافل (2002) و گریر، فرشافل و موخاپدیای (2007)، مسائل کلامی تفسیری[6]، می­توانند تمرین‌های خوبی برای مسائل مدل‌سازی محسوب ‌شوند.

 

 

 

 

 

· مثال‌هایی از مدل سازی

برای درک بهتر چرخه مدل‌سازی، در ادامه چند مثال با زمینه‌های مختلف دنیای واقعی و زمینه‌های ریاضی ارائه می‌شوند.

مثال اول (انتخاب بهینه­)

در مثال زیر که از هوگارد (2010) اقتباس شده است، یک مسئله مدل‌سازی را نشان می‌دهد که داده­های عددی ندارد و مربوط به یافتن بهترین وسیله حمل و نقل است. پیش‌فرض اصلی در این‌گونه مسائل آن است که معمولاً، پاسخ یکتایی وجود ندارد و هر بحث مستدلی، می‌تواند به‌عنوان پاسخ درست مسئله، محسوب گردد.

با توجه به امکانات شهر خود و بر اساس قیمت‌ها و در نظر گرفتن همه شرایط ازجمله محیط‌زیست، به نظر شما، بهترین وسیله حمل و نقل در این شهر، کدام است؟ در این مورد بحث کنید.

·  مثال دوم (چراغ چینی)

مسئله چراغ چینی، یکی از مسائل طراحی شده برای مطالعه پیزا در سال 2012 بود که بنا به دلایل تکنیکی در رابطه با ارزشیابی، از مجموعه مسائل این مطالعه، کنار گذاشته شد (استیسی، 2012). این مسئله، با مثال بالا متفاوت است و دارای داده‌های کمّی است.

ماریا می­خواهد لامپ چینی بسازد. هر لامپ از دو تکه کاغذ درست شده است. کاغذ اول به‌صورت استوانه و کاغذ دوم با استفاده از تا زدن و درست کردن 12 مثلث (شکل 2) ایجاد می­شود. قطر این استوانه 9  و ارتفاع آن 20­ سانتی‌متر است. مثلث­های ساخته شده بر اثر تا کردن کاغذ دوم، تقریباً مثلث­های متساوی­الاضلاع تشکیل داده­اند.

 شکل 2. لامپ چینی (استیسی، 2012)

سؤال 1: در فروشگاه، کاغذهایی با عرض 20 سانتی‌متر و طول­های متفاوت وجود دارد. کدام­ گزینه­، کمترین طولی است که کاغذ باید داشته باشد تا ماریا بتواند استوانه را بسازد؟ (توجه کنید که 0.5 سانتی­متر، برای چسبانیدن لبه­های کاغذ در نظر بگیرید.)

الف) 20 سانتی­متر  ب) 30 سانتی­متر  ج) 40 سانتی­متر

د) 50 سانتی­متر  ه) 60 سانتی­متر

سؤال 2: در ساختن لامپ، طول کاغذ تا شده برای ساخت مثلث‌ها، چند برابر طول کاغذی است که برای ساختن استوانه صرف شده است؟

الف) تقریباً 1.5 برابر          ب) تقریباً 2 برابر           ج) تقریباً 3 برابر              د) تقریباً 12 برابر

سؤال 3: ماریا قصد دارد لامپ چینی مشابهی تولید کند. کدام­ تغییر، می­تواند طول کاغذ تا شده را تغییر بدهد؟

الف) اندازه استوانه را ثابت نگه می­داریم و اندازه زاویه بیرونی در 12 مثلث را از 60 درجه به حدود 30 درجه تغییر می­دهیم. (بله/ خیر)

ب) اندازه استوانه را ثابت نگه می­داریم و تعداد مثلث­ها را، از 12 عدد به 20 عدد تغییر می­دهیم. (بله/ خیر)

ج) قطر استوانه را تغییر می­دهیم. در کاغذ تاشده، برای ساختن لایه بیرونی، تغییری نمی‌دهیم. (بله/ خیر)

·  مثال سوم (زمینه ریاضی)

برخی از مسائل مدل‌سازی، با زمینه ریاضی ارتباط نزدیک­تری دارند. به‌طور مثال در مسئله زیر، از دانش‌آموزان خواسته شده تا یک تعمیم جبری را، اثبات کنند.

فرض کنید یک مربع دو در دو مانند شکل 3، از روزهای یک ماه مشخص را در اختیار دارید:

  تفاضل حاصل­ضرب اعداد روی قطرها را محاسبه کنید. سپس مربع‌های دو در دوی دیگری را بیابید که بزرگ­ترین تفاضل را داشته باشد (مارتینز و برزوئلا، 2009.)

دانش‌آموزان پس از امتحان کردن اعداد موجود در جدول روزهای هر ماه (شکل شماره 4)، درمی‌یابند که جواب همواره 7- است. در قسمت دوم مسئله، از دانش­آموزان خواسته شده است که نشان دهند نتیجه همواره 7- است. برای این کار، لازم است که دانش­آموزان، با استفاده از عبارت‌های جبری، این حکم را ثابت کنند.

منابع:

 1- روشها و فنون تدریس :دکتر حسن شعبانی چاپ اول 71 انتشارات سمت

 2- چگونه مسئله حل کنیم : جورج پولیا مترجم احمد دل آرام

 3- آموزش ریاضیات براساس رشد شناختی کودکان:تالیف و ترجمه مصطفی تبریزی

 4- هندسة مسطحه، تألیف ناتان التشیلر کورت، ترجمه محمود دیانی.

 6 - آشنایی با نظریه اعداد، تألیف ویلیام و-آدامز-گولدشتین، ترجمه آدینه محمد نارنجانی.

 7- نخستین گامها در المپیاد، تألیف ویلیام و-آدامز-گولدشتین، ترجمه ابراهیم دارابی.

 8- نظریه اعداد، تألیف رؤیا بهشتی زواره، ترجمه مریم میرزاخانی.

 9- جبر مجرد، تألیف جان ب. فرالی، ترجمه مسعود فروزان.

 10- اصول و فلسفه تعلیم و تربیت تالیف دکتر علی شریعتمداری