فرمول های ریاضی ابتدایی

فرمول های ریاضی:

یک ضلع × خودش =مساحت مربع

 یک ضلع × 4 = محیط مربع

طول × عرض = مساحت مستطیل

2× (طول + عرض) = محیط مستطیل

2 ÷ (قاعده × ارتفاع) =مساحت مثلث

مجموع سه ضلع = محیط مثلث

نصف ارتفاع × (قاعده بزرگ + قاعده کوچک) = مساحت ذوزنقه

 مجموع 4 ضلع = محیط ذوزنقه

2÷ (قطر بزرگ × قطر کوچک) = مساحت لوزی

 یک ضلع × 4 = محیط لوزی

ارتفاع × قاعده = مساحت متوازی الاضلاع

 مجموع دو ضلع متوالی × 2 = محیط متوازی الاضلاع

عدد پی × مجذور شعاع = مساحت دایره

 14/3 × شعاع × شعاع

 14/3 × قطر = محیط دایره

چهار ×عدد پی × مجذور شعاع = مساحت کره

   عدد پی × شعاع به توان 3 = حجم کره

14/3 × (نصف قطر کوچک × نصف قطر بزرگ) = مساحت بیضی

یک ضلع × تعداد اضلاع = محیط چند ضلعی منتظم

طول یال × مساحت یک وجه = حجم مکعب

ارتفاع × عرض × طول = حجم مکعب مستطیل

ارتفاع × قاعده = حجم مکعب

ارتفاع هرم × مساحت قاعده هرم = حجم هرم

ارتفاع × مساحت قاعده = حجم استوانه

ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی

سطح دو قاعده + مساحت جانبی = سطح کل استوانه

مجموع مساحت سطوح جانبی  = مساحت جانبی منشور

مجموع مساحت دو قاعده + مجموع مساحت سطوح جانبی = مساحت کلی منشور

ارتفاع  × مساحت قاعده = حجم مخروط

 

 تعاریف هندسی :       

شعاع : خطی از مرکز دایره به پیرامون دایره را شعاع می گویند.

(شعاع خطی مستقیم است که مرکز دایره را به نقطه ای از محیط دایره وصل می کند)

شعاع نصف قطر است.

قطر : فاصله مستقیم دو طرف دایره را که از وسط دایره بگذرد را قطر می نامند.

 عدد پی : 14/3 = π یکی از معروف ترین ثابت های ریاضی عدد π می باشد.

 عدد پی نسبت محیط دایره به قطرش است و تقریبا برابر 14/3 می باشد.

 و دقیقتر آن 14159/3

 و دقیقتر آن تا 22 رقم اعشاری برابر است با :

1415926535897932384626/3 = π

عدد پی (π) عددی گنگ است که رقم هایش تا بی نهایت ادامه دارد.

*برای بدست آوردن مساحت و محیط دایره، کره و بیضی از عدد ثابت پی استفاده می شود.

 زاویه حاده (زاویه تند) : زاویه کوچکتر از 900  را حاده یا تند گویند.

 زاویه قائمه : برابر 900 می باشد.

 زاویه منفرجه (زاویه باز) : زاویه بیشتر از 900 را زاویه باز یا منفرجه نامند.

 زاویه نیم صفحه : زاویه 1800 را زاویه نیم صفحه گویند. همانند نیم دایره

درجه = واحد اندازه گیری زاویه، درجه است.

 حداکثر زاویه (تمام صفحه) 360 درجه است. همانند دایره

نیم ساز : نیم خطی که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند را نیمساز زاویه گویند.

 دو خط عمود بر هم : دو خط که زاویه بین آنها راست یا 900 باشد دو خط عمود بر هم هستند.

عمود منصف : عمود منصف خطی است که هم عمود بر پاره خط بوده و هم آن را نصف کرده باشد.

 

انواع خط :

خط راست - خط شکسته-  خط خمیده - خط باز - خط بسته - پاره خط -  نقطه تقاطع -  خطوط متقاطع

خط تقارن = اگر شکلی را از وسط تا کنیم طوری که تمامی زوایای آن شکل بر هم منطبق شوند، محل تا شدگی را خط تقارن نامند.

 

بخش پذیری اعداد:

حاصل تقسیم صفر بر هر عددی برابر صفر است.

حاصل تقسیم هر عددی بر صفر تعریف نشده است. یا می توان گفت بی نهایت است.

 اعدادی بر 2 قابل تقسیم هستند که یکان آنها زوج باشد.

 اعدادی بر 3 قابل تقسیم هستند که مجموعشان بر 3 قابل تقسیم باشد.

 اعدادی بر 4 قابل تقسیم هستند که دو رقم آخر آنها بر 4 قابل تقسیم باشد.

 هر عددی که مضربی از 100 باشد نیز بر 4 قابل تقسیم است. (چون 100 خودش بر 4 قابل تقسیم است.)

 اعدادی بر 5 قابل تقسیم هستند که رقم یکان آنها 0 یا 5 باشد.

 اعدادی بر 6 قابل تقسیم هستند که بر 2 و 3 قابل تقسیم باشند.

 عددی بر 8 قابل تقسیم است که یا مضربی از 1000 باشد و یا 3 رقم آخر آن بر 8 قابل تقسیم باشد.

 اعدادی بر 9 قابل تقسیم هستند که مجموعشان بر 9 قابل تقسیم باشد.

 عددی بر 10 قابل تقسیم است که رقم آخر آن صفر باشد.

 عددی بر 11 قابل تقسیم است که اگر ارقام آن عدد را به ترتیب از چپ به راست یکی در میان منها و جمع کنیم، حاصل صفر یا مضربی از 11 باشد.

 اعدادی بر 12 قابل تقسیم هستند که بر 3 و 4 قابل تقسیم باشند.

 اعدادی بر 14 قابل تقسیم هستند که بر 7 و 2 قابل تقسیم باشند.

 اعدادی بر 15 قابل تقسیم هستند که بر 3 و 5 قابل تقسیم باشند.

هر تقسیم از چهار قسمت تشکیل شده است :

مقسوم، مقسوم علیه، خارج قسمت، باقیمانده.

باقیمانده + مقسوم علیه × خارج قسمت = مقسوم

 

اعداد:

اعداد طبیعی :

اعداد صحیح بزرگتر از صفر را اعداد طبیعی گویند.

N = {1, 2, 3, 4, 5,…..}

اعداد صحیح :

مجموعه اعداد مثبت و منفی صحیح را اعداد صحیح نامند.

Z = {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3,…}

 اعداد اعشاری :  5/71  و 14/3

اعداد اول

 اعداد اول : هر عدد طبیعی بزرگتر از 1 که غیر از خودش و 1 مقسوم علیه دیگری نداشته باشد، عدد اول نامیده می شود.

P = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,……}

 اعداد مثبت : کلیه اعداد بزرگتر از صفر اعداد مثبت هستند.   5 و 1

اعداد منفی : کلیه اعداد کوچکتر از صفر اعداد منفی هستند.   -6 , -3

اعداد کسری :  ،  ،  ،

 هر عدد به صورت  که در آن a , b اعداد صحیح می باشند و b ≠0 باشد یک کسر نامیده می شود.

اعداد گویا : هر عددی که بتوان به صورت کسر نوشت یک عدد گویا است.

 اعداد گویا را با Q نمایش می دهند.

هر عدد صحیح یک عدد گویاست.

عدد گنگ : عددی که قابل تبدیل به نسبت دو عدد درست نباشد، عدد گنگ (اصم) است.

اعداد گنگ را با (Q`) نمایش می دهند.

مجموعه اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و با (R) نمایش می دهند.

نصف :                                  ثلث :                                   ربع :                           خمس :

 

متر:

متر = صد سانتیمتر یک متر است.                                      کیلومتر = 1000 متر یک کیلومتر است.

سانتی متر = 10 میلیمتر یک سانتی متر است.                     میلیمتر = یک میلیمتر برابر 1000 میکرون است.

دسی متر = 10 سانتیمتر یک دسی متر است.                       دکامتر = 10 متر

هکتو متر = 100 متر                                                       ذرع = 104 سانتیمتر

متر مربع برابر است با مربعی که هر ضلع آن 1 متر باشد.         1 اینچ = 54/2 سانتیمتر

1 فوت = 5/30 سانتی متر                                                 1 یارد = 44/91 سانتی متر

1 مایل = 609/1 کیلومتر                                                  هکتار = 10.000 متر مربع

جریب = 4050 متر  مربع                                                  1 کیلومتر مربع = 100 هکتار

 

 

 لیتر:

واحد اندازه گیری مایعات لیتر است.

 لیتر = یک لیتر برابر است با گنجایش مکعبی تو خالی که هر بعد آن 10 سانتیمتر باشد.

یک لیتر آب تقریبا برابر یک کیلوگرم می باشد.

 سانتی متر مکعب = حجم مکعبی که هر یک از ابعاد آن 1 سانتی متر باشد، یک سانتی متر مکعب است.

متر مکعب = یک متر مکعب گنجایش مکعبی تو خالی به ابعاد یک متر است.

 1000 لیتر برابر یک متر مکعب است.

سی سی = یک سانتیمتر مکعب  برابر یک سی سی است .

 یک لیتر = برابر 1000 سی سی است.

اوزان و مقیاس ها

 گرم = هزار گرم برابر است با 1 کیلوگرم                  کیلوگرم = 1000 گرم                  تن = 1000 کیلوگرم

من = 3 کیلوگرم                                                 خروار = 100 من                        سیر = 75 گرم

چارک = 750 گرم                                               قیراط = 9/205 گرم                    اونس = 35/28 گرم

1 پوند = 592/453 گرم                                        1 ری = 12 کیلو گرم                   1 مثقال = 6875/4 گرم

1 نخود : 1953/0 گرم                                          1 گندم = 0488/0 گرم

واحدهای شمارش :

انسانها از گذشته تا کنون برای شمارش اشیاء از اصطلاحات زیر استفاده می کنند :

انسان (شتر و درخت خرما) = نفر                کشتی و هواپیما = فروند                           پرندگان = عدد

خانه ، مغازه = باب                                   کتاب = جلد                                           کاغذ = برگ

دسته های کاغذ و مقوا = بند                     پارچه و کالاهای تجاری = عدل                  پارچه ندوخته = توپ

فشنگ = تیر                                           عکس = قطعه                                         شیشه و آینه = جام

اشیاء قابل شمارش(گردو، و ...) = دانه         روزنامه و مجله = نسخه                            گل و گیاه = دسته

اسلحه سنگین (توپ و تانک و ....) = عراده    درخت و الوار = اصله                                دسته حیوانات = گله

شمع، لامپ (اشیاء نورانی) = شعله              حیوانات وحشی = قلاده                            حیوانات اهلی = رأس

تلویزیون، رادیو و ... = دستگاه                    کفش = جفت                                         دکمه، قرقره = جین

فیلم، لاستیک(اشیاء مدور) = حلقه             قالی، پتو = تخته                                                فنجان = دست

پارچه های شال و غیره = طاقه                   اشیاء رشته مانند (کمربند و ...) = رشته

 

سرعت نور و صدا:

 سرعت نور در ثانیه = 300000 کیلومتر

مسافت طی شده نور در سال = سال نوری

برای محاسبه فاصله بین ستارگان و کهکشان ها از مقیاس سال نوری استفاده می شود و میزان آن برابر است با مسافتی که نور در طی یک سال طی می کند.

 سرعت صوت (صدا) = 300 متر بر ثانیه

 

اندازه گیری سرعت حرکت وسایل نقلیه:

 کیلومتر بر ساعت kmh                                       مایل بر ساعت milh

تعداد پاره خط ها و نیم خط ها:

1(هرگاه چند نقطه‏ی متمایز(جدا از هم)،بر روی یک خط راست باشند تعداد پاره خط ها از فرمول زیر به دست می آید.

2 ÷ (تعداد فاصله ها × تعداد نقطه ها ) = تعداد پاره خط ها

توجه : تعداد فاصله‏ها همیشه یکی کم‏تر از تعداد نقطه‏ها است.

2(هرگاه چند نقطه‏ی متمایز،بر روی خط راست باشند، تعداد نیم خط‏ها از فرمول زیر،به دست می آید.

 2 × تعداد نقطه‏ها = تعداد نیم خط‏ها

3(هرگاه چند نقطه‏ی متمایز، برروی یک نیم خط باشند،تعداد نیم خط‏ها مانند مثال زیر به دست می‏آید.

مثال: برروی یک نیم خط،هفت نقطه‏ی متمایز وجود دارد چند نیم خط،در شکل وجود دارد؟

پس (8 = 1 + 7 ) نقطه داریم یعنی 8 نیم خط خواهیم داشت.

 4( هرگاه چند نقطه‏ی متمایز، برروی یک پاره خط باشند نیم خطی، درشکل وجود ندارد.

برش و قسمت:

وقتی می خواهیم یک قطعه یا جسمی رشته مانند را به قسمت های مساوی ویا نامساوی تقسیم کنیم همیشه تعداد قسمت‏ها یکی بیش‏تر از تعداد برش‏ها است.

 مثال: یک آهنگر , میله ای به طول 12 متر را به چهار قسمت تقسیم کرد او برای این کار چند برش زده است؟

 برش                3 = 1 – 4 (قسمت)

مجموع و اختلاف: هرگاه مجموع دو عدد و اختلاف آن دو عدد را به ما بدهند و آن دو عدد را از ما بخواهند، از دو راه زیر به دست می‏آید.

1-اگر مجموع واختلاف را از هم کم کرده،بر2 تقسیم کنیم عدد کوچک‏تر به دست می‏آید.

 2- اگر مجموع واختلاف را با هم جمع کرده،بر2 تقسیم کنیم عدد بزرگ‏تربه دست می‏آید.

تعداد یک رقم در یک مجموعه‏ی اعداد متوالی:

1-از عدد1 تا 99 از همه‏ی رقم‏ها 20 تا داریم به جز رقم(صفر)،که از آن 9 تا داریم.

2-از عدد 100تا 199 از همه‏ی رقم‏ها 20تا داریم به جز رقم(یک)،که از آن 120 تا داریم.

 3- از عدد 200تا 299 از همه‏ی رقم‏ها 20تا داریم به جز رقم(دو)،که از آن 120 تا داریم و ...

تعداد اعداد:

در مجموعه اعداد طبیعی (از یک شروع می‏شود)تعداد اعداد یک رقمی9 تا،اعداد دو رقمی 90تا،اعداد سه رقمی 900تا،اعداد چهاررقمی 9000 تاو... می باشد.

تعیین تعداد عددهای صحیح یک مجموعه‏ی اعداد متوالی:

1) اگر تعداداعداد،از عدد اولی تا عدد آخری مورد نظر باشد از فرمول زیر،استفاده می‏شود.

1 + (عدد اولی – عدد آخری) = تعداد اعداد

مثال: از عدد27 تا عدد 1027 چند عدد صحیح (عددی که کسری و اعشاری نباشد) وجود دارد؟                

 تعداد اعداد   1001 = 1+(27 – 1027 )

2) اگر تعداد اعداد،بین دو عدد اولی و آخری مورد نظر باشد از فرمول زیر،استفاده می‏شود.

 1 – ( عدد اولی – عدد آخری) = تعداد اعداد

3)  اگر تعداد اعداد زوج و یا فرد یک مجموعه‏ی اعداد متوالی مورد نظر باشد از فرمول‏های زیر استفاده می‏شود.

1+ 2÷(کوچک‏ترین عدد زوج – بزرگ‏ترین عدد زوج) = تعداد اعداد زوج

1 + 2÷(کوچک‏ترین عدد فرد – بزرگ‏ترین عدد فرد) = تعداد اعداد فرد

 مثال: از عدد 45تا 158چند عدد زوج وچند عدد فرد وجود دارد؟

 57= 1 + 2 ÷ (46 – 158 ) = تعداد اعداد زوج

 57 = 1 + 2 ÷ ( 45 – 157 )= تعداد اعداد فرد

مجموع اعداد صحیح متوالی:

1-برای محاسبه‏ی مجموع اعداد صحیح متوالی،از فرمول زیر استفاده می‏شود.

2 ÷ (تعداد اعداد × مجموع عدد اولی وعدد آخری ) = مجموع اعداد صحیح متوالی

2- برای محاسبه مجموع اعداد صحیح فرد متوالی که از عدد(یک) شروع 

می‏شوندویا مجموع اعداد صحیح زوج متوالی‏که‏ازعدد(دو)شروع می‏شوند

علاوه بر فرمول قبلی،می‏توانیم از فرمول های زیر استفاده کنیم.

 

تعداد اعداد × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحیح فرد متوالی

        (1 + تعداد اعداد) × تعداد اعداد = مجموع اعداد صحیح زوج متوالی

 مثال: مجموع اعداد صحیح زوج و مجموع اعداد صحیح فرد متوالی از 1 تا100 را به دست آورید؟

 از 1 تا 100 ، 50تا فرد و 50 تا زوج هستند.

 2500 = 50 × 50 = تعداد اعداد صحیح فرد متوالی

 2550 = 51 × 50 = تعداد اعداد صحیح زوج متوالی

عدد وسطی:

هرگاه مجموع چند عدد صحیح متوالی (با فاصله های یکسان) را بدهند و آن اعداد را بخواهند ،مجموع آن اعداد را بر تعدادشان تقسیم کرده،عدد وسطی به دست می‏آید.

 1- اگر تعداد اعدادفرد باشد مانندمثال زیر عمل،می کنیم.

 مثال: مجموع 5 عدد صحیح متوالی 75 می‏باشدکوچک‏ترین عدد را به دست آورید؟                                   

 عدد وسطی                           15 = 5 ÷ 75

75 = 17 + 16 + 15 + 14 + 13

 2- اگر تعداد اعداد زوج باشد مانند مثال زیر عمل می کنیم.

 مثال: مجموع 6 عدد صحیح فرد متوالی 96 می باشد یزرگ ترین عدد را به دست آورید؟          

 عدد وسطی               16 = 6  ÷ 96

رقم یکان:

 1- هرگاه چند عدد زوج را با هم جمع کنیم رقم یکان حاصل جمع،حتماً زوج خواهد شد.

 2- هرگاه چند عدد فرد را با هم جمع کنیم رقم یکان حاصل جمع،ممکن است زوج باشد یا فرد.

اگر تعداد اعداد،فرد باشد رقم یکان حاصل جمع،فرد می‏شود و بلعکس

3-هرگاه عدد زوجی را هرچند بار در خودش ضرب کنیم رقم یکان حاصل ضرب،حتماً زوج خواهد بود.

 

 

کسر بین دو کسر:

برای نوشتن کسر بین دو کسر،کافی است صورت‏ها را با هم و مخرج‏ها را نیز را باهم جمع کرد .

تقسیم کسرها:

تقسیم کسر‏ها را به سه روش زیر، می توانیم انجام دهیم.

 1- اگر مخرج‏ها مساوی باشند از مخرج‏ها صرف نظر کرده صورت کسر اول را بر صورت کسر دوم تقسیم می‏کنیم.

اما اگر مخرج‏ها مساوی نباشند مخرج مشترک گرفته و مخرج‏ها را مساوی می‏کنیم سپس صورت کسر اول را بر صورت کسر دوم تقسیم می‏کنیم.

 2- کسر اول را نوشته، علامت تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و سپس کسر دوم را معکوس می کنیم و عمل ضرب را انجام می دهیم.

 3- دور در دور و نزدیک در نزدیک: از این روش، فقط در مواقعی که لازم باشد استفاده می کنیم.

نسبت و تناسب :

 1- تناسب زمانی : در این نوع تناسب، زمان تغییری نمی کند.

 مثال : اگر 4 پیراهن روی طناب در مدت زمان یک ساعت خشک شوند 8 پیراهن در همان شرایط در همان یک ساعت خشک می شود.

 2- تناسب مستقیم : اگر قیمت یک تخم مرغ 100 تومان باشد 5 تخم مرغ 500 تومان می شود یعنی با افزایش تعداد تخم مرغ ها، قیمت خرید تخم مرغ ها نیز به همان نسبت افزایش می یابد.

 3- تناسب معکوس : گاهی اوقات کمیت ها با هم نسبت عکس دارند یعنی هرچه یکی را زیاد کنیم به همان نسبت ، دیگری هم کم می شود. در این حالت می گوییم تناسب معکوس است. مثلاً اگر2 کارگر، کاری را در مدّت 6 روز انجام می دهند ،4 کارگر، همان کار را در مدت 3 روز انجام می دهند.

زاویه‏ ی بین دو عقربه‏ ی ساعت شمار و دقیقه شمار:

 برای محاسیه زاویه‏ی بین دو عقربه‏ی ساعت شمار و دقیقه شمار ، مقدار ساعت را در عدد 30 ضرب کرده، مقدار دقیقه را در عدد5/5 ضرب کرده، عدد کوچک تر را از عدد بزرگ تر کم می کنیم. در صورتی که جواب به دست آمده از 180 درجه بیش‏تر باشد آن را از 360 کم می کنیم.

 

 

مجموع زوایای داخلی چند ضلعی ها:

 برای این که مجموع زاویه های داخلی هر چند ضلعی رامحاسبه کنیم ، تعداد ضلع ها را منهای 2 نموده ، در 180 ضرب می کنیم.

 180 × (2 – تعداد ضلع ها ) = مجموع زاویه های داخلی

 مثال : مجموع زاویه های داخلی یک 5 ضلعی را به دست آورید؟

 درجه 540 = 180× (2 – 5 ) : پنج ضلعی

تعداد قطرهای چندضلعی ها:

 از تعداد ضلع ها، 3 تا کم کرده، جواب را در تعداد ضلع ها ضرب کرده و سپس جواب را بر 2 تقسیم می کنیم.

 2÷ تعداد ضلع ها × ( 3 -  تعداد ضلع ها ) = تعداد قطرها

از هر راس چند ضلعی به اندازه‏ی (3- تعدا ضلع ها ) قطر می گذرد. مثلا از یک راس چهار ضلعی ( 1= 3 – 4) یک قطر می گذرد.

مثال : یک شش ضلعی چند قطر دارد؟

 تعداد قطرها          9= 2 ÷ 6 × ( 3 – 6 )

تعداد زاویه ها:

هرگاه در چند زاویه ی مجاور که دارای راس مشترک هستند ، بخواهیم تعداد زاویه ها را تعیین کنیم ، از فرمول زیر استفاده می کنیم.

2 ÷ (تعداد فاصله ها× تعداد نیم خط ها ) = تعداد زاویه ها

توجه : تعداد فاصله ها،از تعداد نیم خط ها یکی کم تر است.

 

ارتفاع وارد بر وتر:

برای محاسبه ارتفاع وارد بر وتر ، می توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم.

وتر ÷ حاصل ضرب دو ضلع زاویه‏ی قائمه= ارتفاع واردبر وتر